فاطمه و علی در حال بازی روی گرافی $2025$ رأسی هستند که در ابتدا هیچ یالی ندارد. در هر مرحله، ابتدا فاطمه رأس‌ها را به دو دسته افراز می‌کند و سپس، علی دو رأس غیر مجاور را که در یک دسته باشند انتخاب و یال بین آن‌ها را رسم می‌کند. اگر در مرحله‌ای یک مسیر به طول $3$ (یعنی یک مسیر با $4$ رأس و $3$ یال) در گراف حاصل ایجاد شود، بازی به پایان می‌رسد.

• الف) فرض کنید فاطمه می‌خواهد تعداد مراحل بیشینه و علی می‌خواهد تعداد مراحل کمینه شود. اگر هر دو نفر در طول بازی، بهترین حرکت ممکن را برای رسیدن به هدفشان انجام دهند، بازی پس از چند مرحله پایان می‌یابد؟ (۱۰ امتیاز)

• ب) فرض کنید فاطمه می‌خواهد تعداد مراحل کمینه و علی می‌خواهد تعداد مراحل بیشینه شود. اگر هر دو نفر در طول بازی، بهترین حرکت ممکن را برای رسیدن به هدفشان انجام دهند، بازی پس از چند مرحله پایان می‌یابد؟ (۱۰ امتیاز)