به چیدن $n$ توپ سفید و $n$ توپ سیاه در یک ردیف، چینش می‌گوییم. یک زیردنباله‌ی متوالیِ ناتهی از توپ‌ها در یک چینش را زیررشته می‌نامیم. یک زیررشته متوازن است اگر تعداد توپ‌های سفید و سیاه در آن برابر باشد. ارزش یک چینش را برابر با تعداد اعضای مجموعه‌ی طول‌های زیررشته‌های متوازن آن تعریف می‌کنیم. برای مثال، فرض کنید $n=3$ و رنگ توپ‌ها در چینش، مطابق شکل زیر باشد. در این چینش، زیررشته‌ی تشکیل شده از چهار توپ ابتدایی (از راست به چپ) و زیررشته‌ی تشکیل شده از دو توپ انتهایی، دو نمونه از زیررشته‌های متوازن هستند. در مقابل، زیررشته‌ی تشکیل شده از چهار توپ وسط (همه‌ی توپ‌ها به جز توپ ابتدایی و توپ انتهایی) متوازن نیست. پس مجموعه‌ی طول‌های زیررشته‌های متوازن در این چینش $\{2, 4, 6\}$ است و در نتیجه، ارزش این چینش ۳ می‌شود.

الف) برای $n=1402$، نشان دهید چینشی وجود دارد که ارزش آن از ۷۰۲ بیشتر نیست. (۸ نمره)

ب) برای $n=1402$، ثابت کنید ارزش هر چینش حداقل ۷۰۲ است. (۱۴ نمره)

نکته: اگر ثابت کنید ارزش هر چینش حداقل ۳۸ است، ۶ نمره از بخش (ب) را دریافت می‌کنید.