گزینه‌ی ۱ درست است.

خانه‌های این زمین مستطیلی را به صورت شطرنجی با رنگ های سفید و سیاه رنگ آمیزی می‌کنیم. ملک‌شاه می‌تواند همه‌ی خانه‌های هم‌رنگ را حفاری کند، بدون آن که زمین دچار نشست شود. مجموع تعداد شمش‌های مخفی‌شده در این زمین ۲۱ است. بنا بر اصل لانه‌کبوتری، در یکی از مجموعه‌ی خانه‌های هم‌رنگ حداقل $\lceil\frac{21}{2}\rceil = 11$ تا شمش مخفی شده است. پس ملک‌شاه در هر شرایطی می‌تواند حداقل ۱۱ شمش طلا به دست بیاورد. اگر شمش‌ها به شکل زیر مخفی‌ شده باشند، ملک‌شاه نمی‌تواند بیشتر از ۱۱ شمش به دست بیاورد.

پس حداکثر تعداد شمش‌هایی که ملک‌شاه می‌تواند به طور تضمینی به دست بیاورد برابر ۱۱ است.

گزینه‌ی ۵ درست است.

با رنگ‌آمیزی شطرنجی جدول، کافی است ملک‌شاه رنگ دارای خانه‌ی ۱ شمش را حفاری نکند. به این ترتیب می‌تواند رنگ دیگر را حفاری کند که مجموع شمش‌های آن حداقل $2 + 3 + 4 = 9 $ است.

حال، بررسی می‌کنیم چرا بیشتر از این مقدار امکان‌پذیر نیست. سه حالت چینش زیر را در نظر بگیرید که در مکان خانه‌های دارای ۱ و ۲ شمش مشترک هستند.

• اگر ملک‌شاه تصمیم بگیرد خانه‌ی دارای ۱ شمش را حفاری کند: اگر در ادامه حالت ۱ رخ دهد، ملک‌شاه حداکثر ۹ شمش به دست می‌آورد.
• اگر ملک‌شاه تصمیم بگیرد خانه‌ی دارای ۱ شمش را حفاری نکند اما خانه‌ی دارای ۲ شمش را حفاری کند: اگر در ادامه حالت ۳ رخ دهد، ملک‌شاه حداکثر ۹ شمش به دست می‌آورد.
• اگر ملک‌شاه تصمیم بگیرد خانه‌ی دارای ۱ و ۲ شمش را حفاری نکند: اگر در ادامه حالت ۲ رخ دهد، ملک‌شاه حداکثر ۹ شمش به دست می‌آورد.

پس حداکثر تعداد شمش‌هایی که ملک‌شاه می‌تواند به طور تضمینی به دست بیاورد برابر ۹ است.