معقول است مبلغ مورد نظر برای برداشت از خودپرداز‌ها صعودی باشد. برای سادگی نیز، فرض کنید ۱ تومان داریم.

اگر مقادیر مورد نظر برای برداشت را $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}$ در نظر بگیریم، چه اتفاقی می‌افتد؟ می‌توان آن را بهتر کرد؟

مقادیر بهینه برای برداشت، $\frac{1}{7} \frac{2}{7} \frac{3}{7}$ می‌باشند.

در حالت فوق، می‌توان همواره $\frac{3}{7}$ پول را برداشت.

فرض کنید بتوان با در نظر گرفتن مبالغ $a_1, a_2, a_3$ بیشتر از خودپرداز‌ها برداشت. مثال‌هایی ارائه دهید تا مقادیر $a_i$ ها محدود شوند.

مثالی که در خودپرداز‌ها $0, 0, 1$ تومان پول باشد را در نظر بگیرید.

طبق مثال بالا، اگر در نهایت بیش از $\frac{3}{7}$ برداشت کنیم، آنگاه $a_3>\frac{3}{7}$

مثالی که در خودپرداز‌ها $\frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{3}{7}$ تومان پول باشد را در نظر بگیرید.

طبق مثال بالا، برداشت از خودپرداز سوم به شرط گفته شده غیر ممکن، و برداشت از خودپرداز دوم ناکافی خواهد بود. پس $a_1\le\frac{1}{7}$

مثالی که در خودپرداز‌ها $\frac{2}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}$ تومان پول باشد را در نظر بگیرید.

طبق آنچه ثابت کردیم، از خودپرداز سوم نمی‌توان چیزی برداشت، از خودپرداز اول می‌توان حداکثر $\frac{1}{7}$ برداشت، پس تمام پول خودپرداز دوم هم برای عبور از $\frac{3}{7}$ کافی نخواهد بود.

از مثال‌هایی با اعداد مربوط و ساده شروع کنید

مثالی مطلوب می‌تواند چنین باشد. از $n-1$ خودپرداز اول مقدار $\frac{750}{n}$ برداریم. و از خودپرداز نهایی $\frac{1500}{n}$ برداریم.

فرض کنید با استراتژی فوق کمتر از مبلغ گفته شده در نهایت برداشته شود. پس حداکثر یک بار از خودپردازی $\frac{750}{n}$ برداشته شده است.

این مقدار حتما از خودپرداز شماره‌ی $n-1$ برداشته شده است.

حداکثر مقدار پولی که در هر یک از $n-۱$ خودپرداز اولیه است را حساب کنید.

خودپرداز $n-1$ کمتر از $\frac{1500}{n}$ پول دارد.

در مورد پول خودپرداز نهایی چه می‌توان گفت؟