You are not allowed to perform this action
سوال ۷
مجموعهی $A = \{1,2,\ldots,10\}$ را در نظر بگیرید. برای هر زیرمجموعهی دلخواه $S \subseteq A$، $f(S)$ را برابر با تعداد اعداد طبیعیِ $i \in A$ تعریف میکنیم که حداقل یکی از اعداد $i$ یا $i+1$ در $S$ باشد. برای مثال، اگر $S = \{1,2,7,10\}$ باشد، آنگاه $f(S) = 6$ است. مجموع $f(S)$ برای تمام زیرمجموعههای $S$ از $A$ چقدر است؟
- ۷۴۲۴
- ۱۰۲۴۰
- ۸۱۹۶
- ۲۰۴۸
- ۵۱۲۰
پاسخ
گزینهی ۱ درست است.
به ازای هر عدد $1 \leq i \leq 10$، $g(i)$ را برابر با تعداد زیرمجموعههایی از $A$ مانند $S$ تعریف میکنیم که حداقل یکی از اعداد $i$ یا $i - 1$ در $S$ باشد (به عبارت دیگر، مجموعههایی مانند $S$ که عدد $i$ در $f(S)$ اثرگذار باشد). مقدار مورد نظر سوال با مجموع $g(i)$ها برابر است.
- برای $2 \leq i \leq 10$، $g(i)$ برابر $3 \times 2 ^ 8$ است.
- برای $i = 1$، $g(i)$ برابر $2 ^ 9$ است.
جمع این مقادیر برابر ۷۴۲۴ است.
| < سوال قبل | سوال بعد > |