سوال ۲

قرار دهید $f(x, y, k)$ امید ریاضی سود، در صورتی باشد که $x$ توپ قرمز و $y$ توپ آبی و $k$ واحد پول داریم.

سعی کنید رابطه‌ای بازگشتی برای محسابه‌ی $f$ ارائه دهید.

ثابت کنید اگر محیا رنگ $x$ را به حسین بگوید و $c$ واحد پول به میان بگذارد، $$f(x, y, k) = \frac{x}{x+y} f(x-1,y,k+c) + \frac{y}{x+y} f(x, y-1, k-c)$$

سعی کنید مقادیر $$f(x, 0, 1), f(1, 1, 1), f(2, 1, 1), f(3, 1, 1), f(4, 1, 1)$$ را بیابید.

داریم $$f(k, 0, 1) = 2^k$$ $$f(1, 1, 1) = \frac{4}{2}$$ $$f(2, 1, 1) = \frac{8}{3}$$ $$f(3, 1, 1) = \frac{16}{4}$$ $$f(4, 1, 1) = \frac{32}{5}$$ سعی کنید مقدار $f(x, y, 1)$ را حدس بزنید.

ثابت کنید $$f(x, y, 1) = \frac{2^{x+y}}{\binom{x+y}{x}}$$