گراف بازی (۲۰ نمره)

فاطمه و علی در حال بازی روی گرافی $2025$ رأسی هستند که در ابتدا هیچ یالی ندارد. در هر مرحله، ابتدا فاطمه رأس‌ها را به دو دسته افراز می‌کند و سپس، علی دو رأس غیر مجاور را که در یک دسته باشند انتخاب و یال بین آن‌ها را رسم می‌کند. اگر در مرحله‌ای یک مسیر به طول $3$ (یعنی یک مسیر با $4$ رأس و $3$ یال) در گراف حاصل ایجاد شود، بازی به پایان می‌رسد.