سوال ۳

گزینه‌ی ۵ درست است.

می‌دانیم دقیقاً دو عدد از میان $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ مضرب ۵ نیستند. ابتدا به $\binom{5}{2}$ حالت این دو عدد را انتخاب می‌کنیم. باقی‌مانده‌ی این دو عدد بر ۵ باید یکی از ۴ حالت $\{(4, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2)\}$ باشد. همچنین می‌دانیم همه اعداد طبیعی هستند. به این منظور به هر کدام از ۳ عدد دیگر، هر کدام ۵ واحد اختصاص می‌دهیم.

حال ۱۰ واحد داریم که باید بین ۵ عدد تقسیم شود، به طوری که اعداد به پیمانه ۵ ثابت بمانند. اگر فرض کنیم به هر $x_i$، $5a_i$ واحد اضافه کرده‌ایم، می‌دانیم: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{10}{5} = 2 $ تعداد ۵‌تایی‌های مرتب از اعداد حسابی که در این شرط صدق کنند برابر است با $\binom{6}{4}$. لذا تعداد کل ۵‌تایی‌های مرتب $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ برابر است با: $\binom{5}{2} \times 4 \times \binom{6}{4} = 600 $