سوال ۲
در یک جدول ۳ × ۳ تمام اعداد ۱ تا ۹ را نوشتهایم. به دو خانه از جدول مجاور میگوییم، اگر یک ضلع مشترک داشته باشند. میدانیم که جمع اعداد نوشته شده در هر دو خانهی مجاور از این جدول، حداکثر ۱۱ است. مجموعهی همهی مقادیر ممکنی که میتوانند در خانهی وسط جدول نوشته شوند، کدام است؟
- $\{3,5,7\}$
- $\{5,7\}$
- $\{5\}$
- $\{5,6,7\}$
- $\{3,4,5,6,7\}$
پاسخ
گزینهی ۴ درست است.
میتوان جدولهایی با خانهی وسط ۵ و ۶ و ۷ ارائه داد.
نشان میدهیم این مقادیر، تنها مقادیر ممکن برای خانهی وسط هستند. میدانیم جمع هر دو عدد مجاور حداکثر برابر ۱۱ است. پس عدد ۹ تنها با اعداد ۱ و ۲ مجاور است. یعنی در یکی از ۴ خانهی گوشهی جدول است. بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض کنیم جدول مانند شکل زیر باشد.
همچنین عدد ۸ تنها میتواند با اعداد ۱، ۲ و ۳ مجاور باشد، که بر اساس آنچه تا به اینجا به دست آوردهایم، تنها حالت ممکن این است که با عدد ۳ و یکی از دو عدد ۱ یا ۲ مجاور باشد و در نتیجه در یکی از ۴ گوشهی دیگر جدول است. بدون از دست دادن کلیت میتوان شرایط شکل زیر را در نظر گرفت.
حال فرض کنیم عدد ۴ در خانهی وسط جدول باشد. در این صورت عدد ۷ با حداقل یکی از اعداد ۵ یا ۶ مجاور خواهد بود و این جدول معتبر نیست. پس ثابت کردیم که هیچکدام از اعداد مجموعهی $\{1, 2, 3, 4, 8, 9\}$ در خانهی وسط جدول نیستند.