سوال ۱۵
در سیارهی جهشکنندگان، تعدادی پورتال وجود دارد که امکان جابهجایی آنی بین نقاط مشخصی از این سیاره را فراهم میکنند. شکل زیر، بخشی از این سیاره را نشان میدهد:
طبق شکل، سه پورتال در نقاط $A$، $B$ و $C$ قرار دارند. پارسا که در این سیاره زندگی میکند، میخواهد از نقطهی شروع (نقطهی پایین چپ) به نقطهی پایان (نقطهی بالا راست) برسد. او در مسیر خود، در هر مرحله میتواند یکی از سه حرکت زیر را انجام دهد:
- یک واحد به سمت بالا حرکت کند.
- یک واحد به سمت راست حرکت کند.
- اگر روی یک پورتال قرار داشت، میتواند از آن استفاده کند و به یکی از دو پورتال دیگر منتقل شود.
اگر پارسا حداکثر یک بار بتواند از پورتالها استفاده کند، تعداد مسیرهای متفاوتی که میتواند با پیمایش آنها از نقطهی شروع به نقطهی پایان برسد چقدر است؟
- ۱۵۹۰
- ۱۵۶۴
- ۱۸۴۲
- ۲۵۲
- ۱۳۳۸
پاسخ
گزینهی ۱ درست است.
- اگر از پورتال A استفاده کنیم: $\binom{3}{1} \times (\binom{3}{0} + \binom{5}{2}) = 33$ مسیر داریم.
- اگر از پورتال B استفاده کنیم: $\binom{7}{2} \times (\binom{7}{3} + \binom{5}{2}) = 945$ مسیر داریم.
- اگر از پورتال C استفاده کنیم: $\binom{5}{2} \times (\binom{3}{0} + \binom{7}{3}) = 360$ مسیر داریم.
- اگر از پورتالی استفاده نکنیم: $\binom{10}{5} = 252$ مسیر داریم.
مجموع این مقادیر، ۱۵۹۰ خواهد بود.