۱۰ نفر با شمارههای ۱ تا ۱۰ روی یک دایره به ترتیب ساعتگرد قرار دارند و یک توپ در دست فرد شماره ۱ است. در هر مرحله، فرد دارندهی توپ میتواند توپ را به یکی از دو فرد مجاور خود بدهد. توپ به گونهای مبادله میشود که بین هر دو نفر، توپ در مجموع حداکثر ۲ بار رد و بدل شده باشد. چند روش متفاوت برای رساندن توپ به فرد شماره ۶ وجود دارد؟ دو روش باهم متفاوت هستند، اگر دنبالهی شمارههای افرادی که به ترتیب توپ را دریافت میکنند، در آن دو روش متفاوت باشد. برای مثال، دنبالهی $\langle 1,2,3,2,1,10,9,8,7,6,5,6 \rangle$ یک روش مجاز برای رساندن توپ به فرد شماره ۶ است.
پاسخ
گزینهی ۱ درست است.
به ازای دو فرد مجاور $i$ و $j$، انتقال توپ از $i$ به $j$ و بلافاصله از $j$ به $i$ را یک «تغییر جهت» در نقطهی $j$ مینامیم. میتوان دید که یک دنبالهی مجاز نمیتواند به طور همزمان در هر دو نیمهی اول و دوم دایره تغییر جهت داشته باشد. بدون کاستن از کلیت، فرض کنید تغییر جهتها فقط در نیمهی اول دایره رخ میدهند. در این صورت مقادیر $x$ و $y$ با شرط $1 \leq x \leq y \leq 6$ وجود دارند، طوری که توپ ابتدا در جهت ساعتگرد از فرد ۱ به فرد $x$ رسیده و سپس با تغییر جهت در نقطهی $x$، در جهت پادساعتگرد از فرد $x$ به فرد $y$ میرسد و نهایتا با تغییر جهت در نقطهی $y$، در جهت ساعتگرد از فرد $y$ به فرد ۶ منتقل میشود. برای انتخاب $x$ و $y$، $\binom{7}{2}$ حالت وجود داد. لذا تعداد دنبالههای مجاز با شرط فوق $2 \times \binom{7}{2} = 42$ است.
همچنین توپ میتواند با یک مسیر ساعتگرد (یا پادساعتگرد) به طول ۱۵ بدون هیچ تغییر جهتی از فرد ۱ به فرد ۶ منتقل شود. پس تعداد کل دنبالههای مجاز $42 + 2 = 44$ است.
نکته: در دفترچهی چاپی سوالات آزمون، گزینهی ۱ به صورت ۴۲ درج شده است. لذا این سوال در تعیین نمرهی نهایی شرکتکنندگان تاثیر مثبت یا منفی نخواهد داشت.